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病的な関数

2016-04-10 解析 高校生

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「病的な関数」とは、wikipediaによると「その性質が変則的に悪質であったり、直感に反すると見なされるような」 関数のことを言うそうです。 具体的には、連続でない点や、

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、微分可能でない点がたくさん存在するような関数のことです。

もちろん、「病的な関数」というのは数学的な厳密な定義ではなく、主観的なものです。 ただし、これは数学の用語としては正式なものです。

ここでは、不連続な点が稠密に存在する病的な関数の例をいくつか観察してみましょう。 関数の「病的」な振る舞いを見て、楽しみましょう。

この記事では、連続の定義は知っているものとして定理の証明等を行います。 連続の定義は、「意外と知らない? 中間値の定理の証明」の定義4に書かれています。

ディリクレの関数

まずは、非常に有名な「ディリクレの関数」というものがあります。 ディリクレの関数 $D(x)$ は次のように場合分けして定義されます。 \begin{eqnarray*} D(x)=\left\{ \begin{array}{l} 1 & (x \in \mathbb{Q}) \\ 0 & (x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}) \end{array} \right. \end{eqnarray*} ただし、 $\mathbb{Q}$ は有理数全体の集合を、 $\mathbb{R}$ は実数全体の集合を表します。 つまり、ディリクレの関数 $D(x)$ は、 $x$ が有理数のときに >

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病的な関数

2016-04-10 解析 高校生

病的な関数とは?

「病的な関数」とは、wikipediaによると「その性質が変則的に悪質であったり、直感に反すると見なされるような」 関数のことを言うそうです。 具体的には、連続でない点や、微分可能でない点がたくさん存在するような関数のことです。

もちろん、「病的な関数」というのは数学的な厳密な定義ではなく、主観的なものです。 ただし、これは数学の用語としては正式なものです。

ここでは、不連続な点が稠密に存在する病的な関数の例をいくつか観察してみましょう。 関数の「病的」な振る舞いを見て、楽しみましょう。

この記事では、連続の定義は知っているものとして定理の証明等を行います。 連続の定義は、「意外と知らない? 中間値の定理の証明」の定義4に書かれています。

ディリクレの関数

まずは、非常に有名な「ディリクレの関数」というものがあります。 ディリクレの関数 $D(x)$ は次のように場合分けして定義されます。 \begin{eqnarray*} D(x)=\left\{ \begin{array}{l} 1 & (x \in \mathbb{Q}) \\ 0 & (x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}) \end{array} \right. \end{eqnarray*} ただし、 $\mathbb{Q}$ は有理数全体の集合を、 $\mathbb{R}$ は実数全体の集合を表します。 つまり、ディリクレの関数 $D(x)$ は、 $x$ が有理数のときに $1$ という値をとって、 $x$ が無理数のときに $0$ という値をとる関数ということです。

この関数はグラフにすることはできませんが、 おおまかな形は右のようになります。 $2$ 本の平行な直線が並んでいるように見えますが、 じつはこれらの直線には無数に途切れているポイントがあるということになります。

定義からわかるように、 $D(x)$ はすべての実数で不連続な関数です。 そのため、 $D(x)$ は病的な関数と言うことができるでしょう。

$D(x)$ がすべての実数で不連続であるということを、 連続の定義に基づいて厳密に証明すると次のようになります。

証明

任意の実数 $x$ において、 $D(x) $が不連続であることを証明するために、 $x$ が有理数の場合と、無理数の場合で場合分けする。

  • $x$ が有理数の場合

    $\varepsilon = \frac{1}{2}$ とする。 任意の正の実数 $\delta$ に対して、明らかに開区間 $(x-\delta, x+\delta)$ にはある無理数 $s$ が存在する。 すなわち、 $|s-x| \lt \delta$ なる無理数 $s$ が存在する。 このとき $|D(s)-D(x)|=1 \gt \varepsilon$ なので、 $D(x)$ は有理数 $x$ において連続でない。

  • $x$ が無理数の場合

    $x$ が有理数の場合と同様にして、 $\varepsilon=\frac{1}{2}$ とすれば $x$ で不連続であることが示される。

以上より、証明された。

ディリクレの関数は、極限を用いて次のように表現することもできます。 \begin{eqnarray*} D(x)=\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}\cos^{2m}(n!\pi x) \end{eqnarray*} これが、はじめの $D(x)$ と同じ関数を表しているということの証明は、ここでは省略します。

トマエ関数

ディリクレの関数は、すべての実数で不連続な関数の一例でした。 では、すべての有理数で不連続で、すべての無理数で連続であるような関数は存在するのでしょうか。

実は、そのような関数は存在するのです。たとえば、次の関数がその一例で、「トマエ関数」と呼ばれています。

$x$ が無理数のときには $f(x)=0$ とします。 また、$x$ が有理数で $x=\frac{p}{q}$ ( $p$ と $q$ は互いに素) と表されるときには 、 $f(x)=\frac{1}{q}$ とします。

この関数をグラフにすると、右のようになります。 これは、 区間 $(0,1)$ を拡大したものです。 左右対称できれいですね!

それでは、トマエ関数がすべての有理数で不連続で、すべての無理数で連続であることを証明しましょう。

証明

ディリクレの関数と同じようにして、 $x$ が有理数の場合と無理数の場合で分けて証明する。

  • $x$ が有理数の場合

    $x=\frac{p}{q}$ として、そこで不連続になることを示そう。 $\varepsilon=\frac{1}{q}$ とする。 任意の正の実数 $\delta$ に対して $|x-s| \lt \delta$ を満たす無理数 $s$ が存在することは、 ディリクレの関数の証明で示した。 そして、 $|f(x)-f(s)|=\frac{1}{q}\geq \varepsilon$ となる。 故に、 $f(x)$ は任意の有理数 $x$ で不連続。

  • $x$ が無理数の場合

    無理数 $x$ で連続になることを示そう。 任意の正の実数 $\varepsilon$ に対してある自然数 $q_0$ が存在して、 $\frac{1}{q_0}\lt \varepsilon$ を満たす。 ところで、分母が $q_0$ 以下の有理数で、最も $x$ との差の絶対値が小さくなるようなものを選ぶ。 そして、その値と $x$ との差の絶対値を $\delta$ とする。 そのとき、開区間 $(x-\delta, x+\delta)$ には分母が $q_0$ よりも大きな有理数は存在しない。 よって、その開区間に属する任意の実数 $y$ について、 $|f(x)-f(y)|\lt\frac{1}{q_0}\lt\varepsilon$ が成り立つ。 故に、 $f(x)$ は任意の無理数 $x$ で連続。

以上より、証明された。

可算集合と連続・不連続

トマエ関数は、すべての有理数で不連続で、すべての無理数で連続な関数でした。 では、逆にすべての有理数で連続で、すべての無理数で不連続な関数は存在するのでしょうか。

答えは、「ノー」です。 つまり、すべての有理数で連続で、すべての無理数で不連続な関数は存在しません。 これを一般化した次の定理の成立が知られています。

定理1

実数で定義された関数の不連続点の集合は、高々可算集合である。

可算集合というのは、大学の集合論の「濃度」のところで出てくるので、ここでは詳しくは説明しません。 またこの定理の証明も難解です。

しかし、単調関数でこの定理が成立することは案外簡単に証明され、 松村英之の『集合論入門』(朝倉書店 基礎数学シリーズ5)の62頁に載っています。

<参考文献>

  • 高木貞治『定本 解析概論』(岩波書店)
  • 松村英之『集合論入門』(朝倉書店 基礎数学シリーズ5)

(寺井康徳/西大和学園31期生)

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注目トピック

$ という値をとって、 $x$ が無理数のときに

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病的な関数

2016-04-10 解析 高校生

病的な関数とは?

「病的な関数」とは、wikipediaによると「その性質が変則的に悪質であったり、直感に反すると見なされるような」 関数のことを言うそうです。 具体的には、連続でない点や、微分可能でない点がたくさん存在するような関数のことです。

もちろん、「病的な関数」というのは数学的な厳密な定義ではなく、主観的なものです。 ただし、これは数学の用語としては正式なものです。

ここでは、不連続な点が稠密に存在する病的な関数の例をいくつか観察してみましょう。 関数の「病的」な振る舞いを見て、楽しみましょう。

この記事では、連続の定義は知っているものとして定理の証明等を行います。 連続の定義は、「意外と知らない? 中間値の定理の証明」の定義4に書かれています。

ディリクレの関数

まずは、非常に有名な「ディリクレの関数」というものがあります。 ディリクレの関数 $D(x)$ は次のように場合分けして定義されます。 \begin{eqnarray*} D(x)=\left\{ \begin{array}{l} 1 & (x \in \mathbb{Q}) \\ 0 & (x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}) \end{array} \right. \end{eqnarray*} ただし、 $\mathbb{Q}$ は有理数全体の集合を、 $\mathbb{R}$ は実数全体の集合を表します。 つまり、ディリクレの関数 $D(x)$ は、 $x$ が有理数のときに $1$ という値をとって、 $x$ が無理数のときに $0$ という値をとる関数ということです。

この関数はグラフにすることはできませんが、 おおまかな形は右のようになります。 $2$ 本の平行な直線が並んでいるように見えますが、 じつはこれらの直線には無数に途切れているポイントがあるということになります。

定義からわかるように、 $D(x)$ はすべての実数で不連続な関数です。 そのため、 $D(x)$ は病的な関数と言うことができるでしょう。

$D(x)$ がすべての実数で不連続であるということを、 連続の定義に基づいて厳密に証明すると次のようになります。

証明

任意の実数 $x$ において、 $D(x) $が不連続であることを証明するために、 $x$ が有理数の場合と、無理数の場合で場合分けする。

  • $x$ が有理数の場合

    $\varepsilon = \frac{1}{2}$ とする。 任意の正の実数 $\delta$ に対して、明らかに開区間 $(x-\delta, x+\delta)$ にはある無理数 $s$ が存在する。 すなわち、 $|s-x| \lt \delta$ なる無理数 $s$ が存在する。 このとき $|D(s)-D(x)|=1 \gt \varepsilon$ なので、 $D(x)$ は有理数 $x$ において連続でない。

  • $x$ が無理数の場合

    $x$ が有理数の場合と同様にして、 $\varepsilon=\frac{1}{2}$ とすれば $x$ で不連続であることが示される。

以上より、証明された。

ディリクレの関数は、極限を用いて次のように表現することもできます。 \begin{eqnarray*} D(x)=\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}\cos^{2m}(n!\pi x) \end{eqnarray*} これが、はじめの $D(x)$ と同じ関数を表しているということの証明は、ここでは省略します。

トマエ関数

ディリクレの関数は、すべての実数で不連続な関数の一例でした。 では、すべての有理数で不連続で、すべての無理数で連続であるような関数は存在するのでしょうか。

実は、そのような関数は存在するのです。たとえば、次の関数がその一例で、「トマエ関数」と呼ばれています。

$x$ が無理数のときには $f(x)=0$ とします。 また、$x$ が有理数で $x=\frac{p}{q}$ ( $p$ と $q$ は互いに素) と表されるときには 、 $f(x)=\frac{1}{q}$ とします。

この関数をグラフにすると、右のようになります。 これは、 区間 $(0,1)$ を拡大したものです。 左右対称できれいですね!

それでは、トマエ関数がすべての有理数で不連続で、すべての無理数で連続であることを証明しましょう。

証明

ディリクレの関数と同じようにして、 $x$ が有理数の場合と無理数の場合で分けて証明する。

  • $x$ が有理数の場合

    $x=\frac{p}{q}$ として、そこで不連続になることを示そう。 $\varepsilon=\frac{1}{q}$ とする。 任意の正の実数 $\delta$ に対して $|x-s| \lt \delta$ を満たす無理数 $s$ が存在することは、 ディリクレの関数の証明で示した。 そして、 $|f(x)-f(s)|=\frac{1}{q}\geq \varepsilon$ となる。 故に、 $f(x)$ は任意の有理数 $x$ で不連続。

  • $x$ が無理数の場合

    無理数 $x$ で連続になることを示そう。 任意の正の実数 $\varepsilon$ に対してある自然数 $q_0$ が存在して、 $\frac{1}{q_0}\lt \varepsilon$ を満たす。 ところで、分母が $q_0$ 以下の有理数で、最も $x$ との差の絶対値が小さくなるようなものを選ぶ。 そして、その値と $x$ との差の絶対値を $\delta$ とする。 そのとき、開区間 $(x-\delta, x+\delta)$ には分母が $q_0$ よりも大きな有理数は存在しない。 よって、その開区間に属する任意の実数 $y$ について、 $|f(x)-f(y)|\lt\frac{1}{q_0}\lt\varepsilon$ が成り立つ。 故に、 $f(x)$ は任意の無理数 $x$ で連続。

以上より、証明された。

可算集合と連続・不連続

トマエ関数は、すべての有理数で不連続で、すべての無理数で連続な関数でした。 では、逆にすべての有理数で連続で、すべての無理数で不連続な関数は存在するのでしょうか。

答えは、「ノー」です。 つまり、すべての有理数で連続で、すべての無理数で不連続な関数は存在しません。 これを一般化した次の定理の成立が知られています。

定理1

実数で定義された関数の不連続点の集合は、高々可算集合である。

可算集合というのは、大学の集合論の「濃度」のところで出てくるので、ここでは詳しくは説明しません。 またこの定理の証明も難解です。

しかし、単調関数でこの定理が成立することは案外簡単に証明され、 松村英之の『集合論入門』(朝倉書店 基礎数学シリーズ5)の62頁に載っています。

<参考文献>

  • 高木貞治『定本 解析概論』(岩波書店)
  • 松村英之『集合論入門』(朝倉書店 基礎数学シリーズ5)

(寺井康徳/西大和学園31期生)

$ という値をとる関数ということです。

この関数はグラフにすることはできませんが、 おおまかな形は右のようになります。 $2$ 本の平行な直線が並んでいるように見えますが、 じつはこれらの直線には無数に途切れているポイントがあるということになります。

定義からわかるように、 $D(x)$ はすべての実数で不連続な関数です。 そのため、 $D(x)$ は病的な関数と言うことができるでしょう。

$D(x)$ がすべての実数で不連続であるということを、 連続の定義に基づいて厳密に証明すると次のようになります。

証明

任意の実数 $x$ において、 $D(x) $が不連続であることを証明するために、 $x$ が有理数の場合と、無理数の場合で場合分けする。

  • $x$ が有理数の場合

    $\varepsilon = \frac{1}{2}$ とする。 任意の正の実数 $\delta$ に対して、明らかに開区間 $(x-\delta, x+\delta)$ にはある無理数 $s$ が存在する。 すなわち、 $|s-x| \lt \delta$ なる無理数 $s$ が存在する。 このとき $|D(s)-D(x)|=1 \gt \varepsilon$ なので、 $D(x)$ は有理数 $x$ において連続でない。

  • $x$ が無理数の場合

    $x$ が有理数の場合と同様にして、 $\varepsilon=\frac{1}{2}$ とすれば $x$ で不連続であることが示される。

以上より、証明された。

ディリクレの関数は、極限を用いて次のように表現することもできます。 \begin{eqnarray*} D(x)=\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}\cos^{2m}(n!\pi x) \end{eqnarray*} これが、はじめの $D(x)$ と同じ関数を表しているということの証明は オリジナル フロアマット エコノミー NISSAN 日産 フーガ 年式 H16/10~H21/11 [フーガ 1] 車種別 カーマット 床 車、ここでは省略します。

トマエ関数

ディリクレの関数は、すべての実数で不連続な関数の一例でした。 では、すべての有理数で不連続で、すべての無理数で連続であるような関数は存在するのでしょうか。

実は、そのような関数は存在するのです。たとえば、次の関数がその一例で、「トマエ関数」と呼ばれています。

$x$ が無理数のときには $f(x)=0$ とします。 また、$x$ が有理数で $x=\frac{p}{q}$ ( $p$ と $q$ は互いに素) と表されるときには 、 $f(x)=\frac{1}{q}$ とします。

この関数をグラフにすると、右のようになります。 これは、 区間 $(0,1)$ を拡大したものです。 左右対称できれいですね!

それでは 、トマエ関数がすべての有理数で不連続で、すべての無理数で連続であることを証明しましょう。

証明

ディリクレの関数と同じようにして、 $x$ が有理数の場合と無理数の場合で分けて証明する。

  • $x$ が有理数の場合

    $x=\frac{p}{q}$ として、そこで不連続になることを示そう。 $\varepsilon=\frac{1}{q}$ とする。 任意の正の実数 $\delta$ に対して $|x-s| \lt \delta$ を満たす無理数 $s$ が存在することは、 ディリクレの関数の証明で示した。 そして、 $|f(x)-f(s)|=\frac{1}{q}\geq \varepsilon$ となる。 故に、 $f(x)$ は任意の有理数 $x$ で不連続。

  • $x$ が無理数の場合

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以上より、証明された。

可算集合と連続・不連続

トマエ関数は、すべての有理数で不連続で、すべての無理数で連続な関数でした。 では CCFLリング LEDフォグランプ bB QNC20系 ブルー/青 H8/H11 トヨタ【イカリング LEDフォグ ユニット メッキ 純正交換式 汎用設計 外装 ヘッドライト ハロゲン HID ドレスアップ】、逆にすべての有理数で連続で、すべての無理数で不連続な関数は存在するのでしょうか。

答えは、「ノー」です。 つまり、すべての有理数で連続で、すべての無理数で不連続な関数は存在しません。 これを一般化した次の定理の成立が知られています。

定理1

実数で定義された関数の不連続点の集合は、高々可算集合である。

可算集合というのは エスコ ESCO 50mm/ 200kg 戸 車 重量用・ステンレス製 000012076177 HD店、大学の集合論の「濃度」のところで出てくるので、ここでは詳しくは説明しません。 またこの定理の証明も難解です。

しかし、単調関数でこの定理が成立することは案外簡単に証明され、

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、 松村英之の『集合論入門』(朝倉書店 基礎数学シリーズ5)の62頁に載っています。

<参考文献>

  • 高木貞治『定本 解析概論』(岩波書店)
  • 松村英之『集合論入門』(朝倉書店 基礎数学シリーズ5)

(寺井康徳/西大和学園31期生)

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